Александр Барыбин родился в 1971 году в Жиздре.
Окончил Московскую сельскохозяйственную академию им. К.А. Тимирязева по специальности «экономист».
Затем – служба в Вооруженных Силах Российской Федерации.
Работал в налоговых органах, производственной и торговой сферах в Калуге, Людинове и Санкт-Петербурге.
С 2006 году работал в органах местного самоуправления Жиздринского района.
С 2010 по 2012 год – возглавлял администрацию города Жиздры, а в 2012 году возглавил районную администрацию.